Thesis Neminis

Our experiments showed more than once that the employment of kernels other than the Gaussian one can significantly improve the results in certain circumstances.

From our experiments we know that

• The Laplacian Kernel works well on some scaled/normalized data.
• The Exponential Kernel generally behaves the same of the Gaussian one, but in some situations makes the difference, as happened in the experiments with IRIS data (multivariate) or CLASSIC3 data (text documents in BOW model with TF-IDF encoding).

These results suggest to go deeper in the matter and explore other kernels that can be useful in clustering with SVC.

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In order to find a connection between the works studied (Bregman Co-clustering and Support Vector Clustering) we have performed some research. An interesting result are the following paper:

• bibtex | link
  R. Nock and F. Nielsen, "Fitting the smallest enclosing Bregman balls," in 16th European Conference on Machine Learning, 2005, pp. 649-656.
  @conference{bregmanmeb05,
  author = {Richard Nock and Frank Nielsen},
  Booktitle = {16th European Conference on Machine Learning},
  Date-Added = {2007-06-23 11:00:19 +0200},
  Date-Modified = {2007-11-14 12:55:32 +0100},
  Keywords = {bregman, MEB},
  Number = {3720},
  Pages = {649–656},
  Publisher = {Springer-Verlag},
  Series = {Lectures Notes on Computer Science Series},
  Title = {{Fitting the smallest enclosing Bregman balls}},
  Url = {http://www.sonycsl.co.jp/person/nielsen/BregmanBall/nn-ecml-05.pdf},
  Year = {2005},
  Bdsk-File-1 = {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},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.sonycsl.co.jp/person/nielsen/BregmanBall/nn-ecml-05.pdf}
}

The above paper generalizes the Minimum Enclosing Ball (MEB) problem to the Bregman divergences and also provide a generalization of the Bâdoiu-Clarkson (BC) approximation algorith. This is the same algorithm exploited in practical by the Core Vector Machines

• bibtex | link
  I. W. Tsang, J. T. Kwok, and P. Cheung, "Core vector machines: Fast SVM training on very large data sets," Journal of Machine Learning Research, vol. 6, pp. 363-392, 2005.
  @article{cvm05,
  author = {Ivor W. Tsang and James T. Kwok and Pak-Ming Cheung},
  Date-Added = {2007-05-26 12:49:30 +0200},
  Date-Modified = {2007-06-23 08:23:02 +0200},
  Journal = {Journal of Machine Learning Research},
  Keywords = {SVM, CVM, MEB, SVDD},
  Pages = {363–392},
  Title = {Core vector machines: Fast SVM training on very large data sets},
  Url = {http://www.cs.ust.hk/%7Eivor/publication/tsang05a.pdf},
  Volume = {6},
  Year = {2005},
  Bdsk-File-1 = {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},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.cs.ust.hk/~ivor/publication/tsang05a.pdf}
}

CVMs reformulate the SVMs as a MEB problem. Since they use the BC algorithm and such an algorithm has been generalized to the Bregman divergences, the research on vector machines could have interesting implications.

In the Documents section are available the slides entitled: “Novel Clustering Techniques: Support Vector Methods and Minimum Bregman Information principle”

SVC has been explained with more care because it still is a very experimental technique.

This is the continuation of the experiments started few days ago.

Two other datasets have been involved in this type of experiments. Both of them are Astrophysics datasets, more precisely two dataset containing Stars and Galaxies.

Star/Galaxies separation is a problem usually tackled with supervised learning methodologies. In our work several clustering testes are conducted on such type of data.

These two datasets was chosen to be quite simple to separate, because we are interested in the robustness with respect missing values.

Starting from the original datasets, I have created eight variants for each of them, in this way

• 4 variants affecting only 3 features out of 15, with 5, 10, 20, 30 percent of objects reporting missing values for all of the 3 features, respectively
• 4 variants affecting 6 features out of 15, with 5, 10, 20, 30 percent of objects reporting missing values for all of the 6 features, respectively

The experiments was done with Euclidean Co-clustering (Information-theoretic cannot work with negative values) and SVC.

An archive with all results is available for download (it contains also the results of the previous stage).

In the files above:

- “MV� stands for “Missing Values�
- “FC� stands for “Feature Clusters�
- FC1 means no feature clustering
- FC2 means two clusters of feature requested
- FC3 means three clusters of feature requested
- CC stands for Co-clustering

Un test effettuato più che per curiosità che per altro ha dato risultati inaspettati.

Premessa: ho da poco introdotto l’utilizzo del kernel Laplaciano nel Support Vector Clustering. Senza soffermarmi troppo su questo particolare, sottolineo soltanto che l’utilizzo di questo Kernel permette spesso di trovare buone se non ottime soluzioni in 1/3 cicli, anche se non sempre superiori a quelle trovate col kernel Gaussiano.

Veniamo al dunque. Avevo bisogno di dataset astronomici più managgevoli per fare dei test, così spulciando varie pubblicazioni in merito, trovo lo SDSS Sky Server. Seguendo le linee guida e le pubblicazioni, ho estratto dai database dello SkyServer finora due piccoli dataset (i nomi li ho inventati io):

• S2kG3k
  2000 stelle e 3000 galassie, rappresentate da 20 features (point spread function fluxes, petrosian radii, in arcsec, small-scale roughness of object, shapes).
  Numero di oggetti riportanti missing values: 1364.
  Numero di missing values: 2354
• S3k5G1k5
  3500 stelle e 1500 galassie, rappresentate da 20 features (point spread function fluxes, petrosian radii, in arcsec, small-scale roughness of object, shapes).
  Numero di oggetti riportanti missing values: 2352.
  Numero di missing values: 4157

Dopo aver appurato che dataset simili ma senza missing values erano intrisecamente difficili da separare (strongly overlapping clusters), prima di tentare nuovi dataset per il Co-clustering, ho preferito, per curiosità, usare i succitati dataset con l’SVC.

Arriviamo direttamente al nocciolo, ovvero l’esecuzione dei test (separazione di stelle da galassie) con la seguente configurazione: SVC con Kernel Laplaciano e distanza euclidea L1.

Trattamenti al dataset:

.

Risultati di SVC sul primo dataset (ottenuto in un solo ciclo di SVC):

Class 0
TP: 2000 FP: 318
FN: 0 TN: 2682

Precision: 86.2813 - Recall: 100 - F1: 92.6355

Class 1
TP: 2682 FP: 0
FN: 318 TN: 2000

Precision: 100 - Recall: 89.4 - F1: 94.4034

Accuracy: 93.64

Risultati di SVC sul secondo dataset (ottenuto in un due cicli di SVC):

Class 0
TP: 3500 FP: 16
FN: 0 TN: 1484

Precision: 99.5449 - Recall: 100 - F1: 99.7719

Class 1
TP: 1484 FP: 0
FN: 16 TN: 3500

Precision: 100 - Recall: 98.9333 - F1: 99.4638

Accuracy: 99.68

Questi test risultano incoraggianti per il clustering di dati astronomici tipicamente affetti dalla presenza di missing data values.

PS: nei test sopra la classe 0 è quella delle stelle, la 1 quelle delle galassie.

I contributi portati al SVC, seppur non di grandissima entità, sono diversi. Nel seguito vengono divisi in Contributi all’efficienza del clustering e Contributi alle prestazioni computazionali.

Contributi all’efficienza del clustering

Cluster assignment. Ricordiamo che tra tutti gli algortimi di cluster assignment presentati in letteratura, quello che è stato ritenuto il miglior compromesso tra qualità e complessità computazionale è il Cone Cluster Labeling (CCL)

• bibtex | link
  S. Lee and K. M. Daniels, "Cone Cluster Labeling for Support Vector Clustering," in Proceedings of 6th SIAM Conference on Data Mining, 2006, pp. 484-488.
  @inproceedings{cone2006,
  author = {Sei-Hyung Lee and Karen M. Daniels},
  Booktitle = {Proceedings of 6th SIAM Conference on Data Mining},
  Date-Added = {2007-04-29 16:58:13 +0200},
  Date-Modified = {2007-06-19 18:52:22 +0200},
  Keywords = {SVM, clustering},
  Month = {May},
  Pages = {484–488},
  Title = {Cone Cluster Labeling for Support Vector Clustering},
  Url = {http://www.siam.org/meetings/sdm06/proceedings/046lees.pdf},
  Year = {2006},
  Bdsk-File-1 = {YnBsaXN0MDDUAQIDBAUGBwpZJGFyY2hpdmVyWCR2ZXJzaW9uVCR0b3BYJG9iamVjdHNfEA9OU0tleWVkQXJjaGl2ZXISAAGGoNEICVRyb290gAGoCwwXGBkaHiVVJG51bGzTDQ4PEBMWWk5TLm9iamVjdHNXTlMua2V5c1YkY2xhc3OiERKABIAFohQVgAKAA4AHXHJlbGF0aXZlUGF0aFlhbGlhc0RhdGFfEEsuLi8uLi8uLi9QYXBlcnMvTGVlL0NvbmUgQ2×1c3RlciBMYWJlbGluZyBmb3IgU3VwcG9ydCBWZWN0b3IgQ2×1c3RlcmluZy5wZGbSGw8cHVdOUy5kYXRhTxECLgAAAAACLgACAAAJRG9jdW1lbnRzAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAvs54rkgrAAAANyVBH0NvbmUgQ2×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},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.siam.org/meetings/sdm06/proceedings/046lees.pdf}
}

Il primo contributo in questo senso è stato una esplicita politica per trattare i BSV. Un alto regime di BSV si rende necessario soprattutto per separare cluster fortemente sovrapposti. I BSV però finiscono fuori dalla descrizione del dominio, risultando outliers.

La scelta è stata quella di applicare il CCL così com’era escludendo i BSV dal processo e poi una volta trovato i cluster, assegnare i BSV a questi ultimi con una semplice politica di prossimità: un BSV è assegnato al cluster al quale appartiene il punto più prossimo.

Questo ci ha permesso di classificare i BSV in maniera mediamente corretta, migliorando l’efficienza.

In

• bibtex | link
  S. Lee and K. M. Daniels, "Gaussian Kernel Width Selection and Fast Cluster Labeling for Support Vector Clustering," Department of Computer Science, University of Massachussets Lowell2005.
  @techreport{kernwidthsvc2005,
  author = {Sei-Hyung Lee and Karen M. Daniels},
  Date-Added = {2007-05-18 10:44:22 +0200},
  Date-Modified = {2007-06-20 08:28:06 +0200},
  Institution = {Department of Computer Science, University of Massachussets Lowell},
  Keywords = {svm, clustering, kernel machines},
  Title = {Gaussian Kernel Width Selection and Fast Cluster Labeling for Support Vector Clustering},
  Url = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/SeiTechReport2005.pdf},
  Year = {2005},
  Bdsk-File-1 = {YnBsaXN0MDDUAQIDBAUGBwpZJGFyY2hpdmVyWCR2ZXJzaW9uVCR0b3BYJG9iamVjdHNfEA9OU0tleWVkQXJjaGl2ZXISAAGGoNEICVRyb290gAGoCwwXGBkaHiVVJG51bGzTDQ4PEBMWWk5TLm9iamVjdHNXTlMua2V5c1YkY2xhc3OiERKABIAFohQVgAKAA4AHXHJlbGF0aXZlUGF0aFlhbGlhc0RhdGFfEG8uLi8uLi8uLi9QYXBlcnMvTGVlL0dhdXNzaWFuIEtlcm5lbCBXaWR0aCBTZWxlY3Rpb24gYW5kIEZhc3QgQ2×1c3RlciBMYWJlbGluZyBmb3IgU3VwcG9ydCBWZWN0b3IgQ2×1c3RlcmluZy5wZGbSGw8cHVdOUy5kYXRhTxECmgAAAAACmgACAAAJRG9jdW1lbnRzAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAvs54rkgrAAAANyVBH0dhdXNzaWFuIEtlcm5lbCBXaWR0IzMxQ0FDQS5wZGYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAxysrCcyn+UERGIAAAAAAAAwADAAAJAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANMZWUAABAACAAAvs5cjgAAABEACAAAwnMN3gAAAAEAFAA3JUEANxuAAACy8gAAEsYAABKtAAIATkRvY3VtZW50czpuZW1vOkRvY3VtZW50czpVbml2ZXJzaXRhOlBhcGVyczpMZWU6R2F1c3NpYW4gS2VybmVsIFdpZHQjMzFDQUNBLnBkZgAOALgAWwBHAGEAdQBzAHMAaQBhAG4AIABLAGUAcgBuAGUAbAAgAFcAaQBkAHQAaAAgAFMAZQBsAGUAYwB0AGkAbwBuACAAYQBuAGQAIABGAGEAcwB0ACAAQwBsAHUAcwB0AGUAcgAgAEwAYQBiAGUAbABpAG4AZwAgAGYAbwByACAAUwB1AHAAcABvAHIAdAAgAFYAZQBjAHQAbwByACAAQwBsAHUAcwB0AGUAcgBpAG4AZwAuAHAAZABmAA8AFAAJAEQAbwBjAHUAbQBlAG4AdABzABIAgS9uZW1vL0RvY3VtZW50cy9Vbml2ZXJzaXRhL1BhcGVycy9MZWUvR2F1c3NpYW4gS2VybmVsIFdpZHRoIFNlbGVjdGlvbiBhbmQgRmFzdCBDbHVzdGVyIExhYmVsaW5nIGZvciBTdXBwb3J0IFZlY3RvciBDbHVzdGVyaW5nLnBkZgAAEwASL1ZvbHVtZXMvRG9jdW1lbnRzABUAAgAX//8AAIAG0h8gISJYJGNsYXNzZXNaJGNsYXNzbmFtZaMiIyRdTlNNdXRhYmxlRGF0YVZOU0RhdGFYTlNPYmplY3TSHyAmJ6InJFxOU0RpY3Rpb25hcnkACAARABsAJAApADIARABJAEwAUQBTAFwAYgBpAHQAfACDAIYAiACKAI0AjwCRAJMAoACqARwBIQEpA8cDyQPOA9cD4gPmA/QD+wQEBAkEDAAAAAAAAAIBAAAAAAAAACgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAQZ},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/SeiTechReport2005.pdf}
}

si affronta il problema col dataset Breast Cancer Wisconsin. In quell’occasione i BSV vengono prima identificati, poi rimossi e infine l’intero processo SVC viene ripetuto, per poi classificare solo allora i BSV. Così facendo ottengono un’accuratezza di circa il 92%.

Il nostro approccio evita di ripetere l’intero SVC due volte per lo stesso dataset e sul Breast Cancer Wisconsin ottiene un’accuratezza di oltre il 96%.

Il secondo piccolo contributo alla procedura CCL è stato l’intuizione di utilizzare la distanza L1 in luogo della distanza L2. In svariati test l’uso di questa distanza ha portato a guadagni nell’acuratezza di classificazione, specialmente nei casi in cui si utilizza il parametro C=1. Nel classico caso dell’IRIS dataset, dopo le migliorie passate, abbiamo ottenuto un ulteriore incremento di oltre mezzo punto percentuale (da 92.6667 a 93.3333).

Generazione dei valori di larghezza per il kernel gaussiano. Ricordiamo che l’unica tecnica proposta per la generazione di tali valori è quella in

• bibtex | link
  S. Lee and K. M. Daniels, "Gaussian Kernel Width Generator for Support Vector Clustering," in Advances in Bioinformatics and Its Applications, 2005, pp. 151-162.
  @inproceedings{gauskergenerator2004,
  author = {Sei-Hyung Lee and Karen M. Daniels},
  Booktitle = {Advances in Bioinformatics and Its Applications},
  Date-Added = {2007-10-23 17:21:17 +0200},
  Date-Modified = {2007-10-23 17:21:17 +0200},
  Editor = {Matthew He and Giri Narasimhan and Sergei Petoukhov},
  Keywords = {SVM, clustering, gaussian kernel},
  Pages = {151–162},
  Title = {Gaussian Kernel Width Generator for Support Vector Clustering},
  Url = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/ICBA.pdf},
  Volume = {8},
  Year = {2005},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/ICBA.pdf}
}

Per un fortunato errore di implementazione, ho scoperto che tale procedura genera sì dei valori di Kernel Width monotoni crescenti, ma spesso “salta” dei valori che darebbero un ottimo risultato. Ovvero, la differenza tra due valori consecutivi è spesso troppo alta. Corretto l’errore di implementazione, ho pensato a come gestire esplicitamente il comportamento avvenuto fortuitamente. Così ho introdotto un nuovo parametro per il generatore di valori, che ho chiamato costante di smorzamento o, in inglese, softening constant. Questa costante può variare nell’intervallo aperto (0,1]. Quando assume valore 1, nessun smorzamento viene effettuato. Per valori minori di 1 invece il valore ogni volta generato dal Kernel Width Generator viene “smorzato” di una percentuale. Per esempio, una costante di smorzamento di 0.5 dimezza ogni volta il valore generato. Con tale valore di smorzamento sono stati constatati due comportamenti che, a seconda del dataset, possono verificarsi al contempo o separatamente (o per niente):

• viene trovato un valore di kernel width che assicura una maggiore accuratezza
• il valore di kernel width giusto viene trovato più velocemente (quindi eseguendo meno volte il SVC)

Nel caso dell’IRIS ha permesso di abbattere il muro del 90% di accuratezza nello stesso numero di cicli; nel caso di un dataset sintetico (finora ancora non presentato nel blog) ha permesso di trovare un buon valore di kernel width in 9 cicli invece dei 19 necessari senza smorzamento (con un aumento di accuratezza quasi insignificante 0.1%).

Stima del valore di C (soft constraint). L’altro parametro fondamentale del SVC è C, che controlla il numero di BSV. Per generare un insieme di possibili valori per C non è stato ancora presentato nulla in letteratura. Un paio di suggerimenti per una stima di tale valore sono presenti in

• bibtex | link
  S. Lee and K. M. Daniels, "Gaussian Kernel Width Selection and Fast Cluster Labeling for Support Vector Clustering," Department of Computer Science, University of Massachussets Lowell2005.
  @techreport{kernwidthsvc2005,
  author = {Sei-Hyung Lee and Karen M. Daniels},
  Date-Added = {2007-05-18 10:44:22 +0200},
  Date-Modified = {2007-06-20 08:28:06 +0200},
  Institution = {Department of Computer Science, University of Massachussets Lowell},
  Keywords = {svm, clustering, kernel machines},
  Title = {Gaussian Kernel Width Selection and Fast Cluster Labeling for Support Vector Clustering},
  Url = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/SeiTechReport2005.pdf},
  Year = {2005},
  Bdsk-File-1 = {YnBsaXN0MDDUAQIDBAUGBwpZJGFyY2hpdmVyWCR2ZXJzaW9uVCR0b3BYJG9iamVjdHNfEA9OU0tleWVkQXJjaGl2ZXISAAGGoNEICVRyb290gAGoCwwXGBkaHiVVJG51bGzTDQ4PEBMWWk5TLm9iamVjdHNXTlMua2V5c1YkY2xhc3OiERKABIAFohQVgAKAA4AHXHJlbGF0aXZlUGF0aFlhbGlhc0RhdGFfEG8uLi8uLi8uLi9QYXBlcnMvTGVlL0dhdXNzaWFuIEtlcm5lbCBXaWR0aCBTZWxlY3Rpb24gYW5kIEZhc3QgQ2×1c3RlciBMYWJlbGluZyBmb3IgU3VwcG9ydCBWZWN0b3IgQ2×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},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/SeiTechReport2005.pdf}
}

ma nei miei esperimenti pratici non hanno prodotto un buon risultato. Probabilmente ciò è dovuto anche al fatto che tale stima veniva fatta assumendo di usare come Cluster Assignment l’algoritmo classico Complete Graph Cluster Labeling.

Pertanto inizialmente ho variato manualmente il valore di C fino a trovarne uno che desse buoni risultati. Col susseguirsi degli esperimenti, ho notato che i valori di C che davano buoni risultati avevano una certa sistematicità ed era possibile ottenerli grazie alla legge

C = 10/N

con N il numero di oggetti nel dataset.

Ho successivamente raffinato la legge come segue, al fine di poter produrre ulteriori valori di C, in base al valore dato in input per tale parametro.

C_new = 10 * C_old / N

dove C_old è il valore di C dato in input all’SVC e C_new è il nuovo valore stimato che in teoria dovrebbe dare un miglior risultato.

Dagli esperimenti effettuati in genere il primo valore generato (C_new = 10 * 1 / N, poiché all’inizio C=1) è quello ottimale.

Contributi alle prestazioni computazionali

Tali contributi sono tutti legati alla procedura di generazione di valori per la larghezza del kernel e sono stati già descritti in questo post.

Uno degli obiettivi di tesi è avere buone prestazioni su high dimensional dataset. L’altro è quello di poter combinare le due tecniche studiate in maniera concreta e con buoni risultati.

Il test illustrato di seguito coinvolte entrambi i punti.

Il dataset coinvolto è stato l’Internet Advertisement dall’UCI repository of Machine Learning. Ne cito la descrizione

This dataset represents a set of possible advertisements on Internet pages. The features encode the geometry of the image (if available) as well as phrases occuring in the URL, the image’s URL and alt text, the anchor text, and words occuring near the anchor text. The task is to predict whether an image is an advertisement (”ad”) or not (”nonad”).

Number of Instances: 3279 (2821 nonads, 458 ads)
Number of Attributes: 1558

One or more of the first three features are missing in 28% of the instances.

Trattiamo dunque con un dataset in 1558D che possiede tra l’altro dei missing values.

Co-clustering

Il test effettuato col solo Co-clustering mette in evidenza i vantaggi dell’implicita capacità di questa tecnica di ridurre la dimensionalità effettuando feature clustering contestuale al data clustering.

Effettuando il test con lo schema 5 e la distanza euclidea, senza richiedere feature clustering, si ottiene quanto segue

Class 1
TP: 223 FP: 98
FN: 223 TN: 2735
Class 2
TP: 98 FP: 223
FN: 98 TN: 2860

Class 1 - Precision: 69.47% Recall: 50% F1: 58.148%
Class 2 - Precision: 30.53% Recall: 50% F1: 37.912%

Accuracy: 9.79%

Stesso schema, ma con feature clustering (10 cluster di feature richiesti), dà luogo a quanto segue

Class 1
TP: 223 FP: 98
FN: 236 TN: 2722
Class 2
TP: 2722 FP: 236
FN: 98 TN: 223

Class 1 - Precision: 69.47% Recall: 48.584% F1: 57.18%
Class 2 - Precision: 92.022% Recall: 96.525% F1: 94.22%

Accuracy: 89.814%

La riduzione della dimensionalità ha dato i suoi frutti (ricordiamo che il dataset possiede anche missing values)

SVC

Le risorse computazionali a disposizione insieme con la natura ancora non stabile del software sviluppato per il SVC non ha permesso di effettuare il test del SVC direttamente in 1558D. Ad ogni modo la letteratura riporta un forte degrado di prestazioni all’aumentare delle dimensioni dello spazio vettoriale, poiché allo stesso tempo si rende necessario un numero elevato di SV per la descrizione del contorno dei cluster.

Inoltre la letteratura mostra anche come la PCA perda di efficacia quando si necessita di un certo numero di componenti.

Co-clustering + SVC

Sappiamo che il Co-clustering, durante il processo di clustering, calcola una approssimazione della matrice di dati originale.

Pertanto, abbiamo usato il Co-clustering richiedendo un co-clustering di dimensioni 3279 x 3, ovvero abbiamo richiesto un numero di cluster di riga pari al numero di righe (quindi il numero di oggetti) e un numero di cluster di colonna considerevolmente inferiore al numero di colonne originale (3 feature clusters invece di 1558 features).

Così facendo il Co-clustering calcola una matrice di approssimazione dove ogni riga rappresenta ancora un solo oggetto della matrice originale, ma a differenza dell’originale, questa matrice è in 3D.

Ricordiamo inoltre che il processo di approssimazione genera una matrice priva di missing values.

Abbiamo così preso tale matrice approssimata e usata come input del SVC. Il risultato è stato addirittura superiore (anche se non di molto) al massimo ottenuto col Co-clustering

Class 0
TP: 218 FP: 70
FN: 241 TN: 2750

Precision: 75.6944 - Recall: 47.4946 - F1: 58.3668

Class 1
TP: 2750 FP: 241
FN: 70 TN: 218

Precision: 91.9425 - Recall: 97.5177 - F1: 94.6481

Accuracy: 90.5154

Tempo macchina

È importante notare che SVC ha impiegato soltanto 0.06 secondi in totale per concludere il processo, trovando il giusto valore di Kernel Width al secondo ciclo. Il Co-clustering ha invece impiegato 117 secondi a concludere il processo (ricordiamo completo anche della sua parte di clustering e non solo del calcolo della matrice approssimata, poiché allo stato attuale il software non permette di scindere le due operazioni).

Abbiamo dunque un totale di 117.06 secondi.

L’SVC su un dataset di 3000 elementi in 20 dimensioni ha impiegato circa 400 secondi per compiere due cicli. E il tempo impiegato cresce all’aumentare delle dimensioni e anche coll’avanzare dei cicli, poiché valori più alti di Kernel Width rallentano il processo di domain description. È facile dunque capire come si potrebbe comportare il solo SVC con un dataset di 1558D.

Conclusioni

Altri test simili erano stati effettuati su dataset troppo piccoli per avere dei risultati significativi.
Questo test mostra come è possibile combinare le due tecniche, sfruttando la capacità di ridurre la dimensionalità e di trattare i missing values dell’uno, e l’accuratezza, la gestione degli outliers e dei cluster di forma arbitraria dell’altro.

Altri test saranno successivamente condotti.

Per il Support Vector Clustering esiste un solo metodo per generare valori pertinenti della larghezza del kernel gaussiano, ed è mostrato in

• bibtex | link
  S. Lee and K. M. Daniels, "Gaussian Kernel Width Generator for Support Vector Clustering," in Advances in Bioinformatics and Its Applications, 2005, pp. 151-162.
  @inproceedings{gauskergenerator2004,
  author = {Sei-Hyung Lee and Karen M. Daniels},
  Booktitle = {Advances in Bioinformatics and Its Applications},
  Date-Added = {2007-10-23 17:21:17 +0200},
  Date-Modified = {2007-10-23 17:21:17 +0200},
  Editor = {Matthew He and Giri Narasimhan and Sergei Petoukhov},
  Keywords = {SVM, clustering, gaussian kernel},
  Pages = {151–162},
  Title = {Gaussian Kernel Width Generator for Support Vector Clustering},
  Url = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/ICBA.pdf},
  Volume = {8},
  Year = {2005},
  Bdsk-Url-1 = {http://www.cs.uml.edu/~kdaniels/papers/ICBA.pdf}
}

che di seguito indicheremo con GKWG.

Il metodo si basa sullo stesso problema di programmazione quadratica su cui si basa l’SVC stesso, unito a un algoritmo secante.

Gli autori usano questo metodo per generare una lista di valori per la larghezza del kernel prima di eseguire il Support Vector Clustering. Una volta ottenuta la lista, si esegue SVC per ogni valore di quella lista, finché non si raggiunge il criterio di stop.

Gli svantaggi di questo approccio sono due:

• Si rischia di generare una lista di valori più lunga del necessario
• Si aggiunge una complessità non indifferente all’intero processo di clustering, poiché il processo di risoluzione del problema di programmazione quadratica ha una notevole complessità (teoricamente O(N^3), praticamente, tramite SMO Algorithm, O(m*N^2)) e questo viene eseguito una volta per ogni valore di larghezza del kernel generato.

Nel nostro caso, si è riuscito a fondere il processo GKWG con il processo di clustering, sfruttando i calcoli che vengono eseguiti necessariamente per la fase di cluster description dell’SVC. Abbiamo dunque eliminato i due svantaggi precedenti.

Risultati

La nostra implementazione del GKWG porta, oltre a un vantaggio in termini di complessità computazionale totale, anche a risultati migliori di quelli presenti in letteratura, per ora in riferimento soltanto all’IRIS Data Set (vedere esperimenti preliminari SVC).

Si è infatti raggiunta, sull’IRIS completo di tutte le feature, un’accuratezza del 92.6667% (precedentemente ci si era fermati al 90%), grazie al valore di larghezza del kernel ottenuto dal GKWG. Risultati migliori sono stati raggiunti in letteratura soltanto riducendo lo spazio delle feature da 4D a 3D o 2D, tramite PCA o Sammon non linear mapping. Restando invece in 4D, tutti i testi in letteratura ottengono un’accuratezza inferiore alla nostra.

Dettagli del test su IRIS

Total time taken: 0.01 s

Kernel Width: 0.0917017
Number of clusters: 3
Number of non-singleton clusters: 3
Number of singleton clusters: 0
Points per cluster:
Cluster 0: 50
Cluster 1: 55
Cluster 2: 45

Class 0
TP: 50 FP: 0
FN: 0 TN: 100

Precision: 100 - Recall: 100 - F1: 100

Class 1
TP: 47 FP: 8
FN: 3 TN: 92

Precision: 85.4545 - Recall: 94 - F1: 89.5238

Class 2
TP: 42 FP: 3
FN: 8 TN: 97

Precision: 93.3333 - Recall: 84 - F1: 88.4211

Macroaveraging: 92.6483
Accuracy: 92.6667